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La Parabole    » Définition par foyer & directrice, paramétrisation |                                             » Animation | Parabole cubique et fonction racine cubique

• Nom de la courbe : parabole

• Etymologie : du grec parabolê, para = à côté et ballein = lancer, jeter. La parabole correspond à la trajectoire d'un projectile lancé et retombant à terre. Le terme est d'Apollonius de Perge.

• Définitions possibles : la parabole est une des trois coniques (avec l'hyperbole, et l'ellipse dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un cône par un plan (du grec kônos).

Étude générale des coniques : »

Approche élémentaire :      

• Nom de la fonction associée : trinôme du second degré.

• Étymologie : du latin et du grec tri = trois et du grec onoma = nom (trois termes). Le mot clé est ici monôme contraction de mono = seul, un seul et onoma = nom. Nous avons aussi : binôme = deux termes, polynôme = plusieurs termes, du grec polus = plusieurs.

• Équation cartésienne : y = ax² + bx + c

• Ensemble de définition : R

• Périodique : non.

• Forme réduite : monôme du second degré d'équation Y = aX² par changement de variable X = x + b/(2a) et Y = y + b²/4a² - c/a.

• Fonction dérivée : 2ax + b ; fonction dérivée de la forme réduite : 2aX

Équation réduite y² = 2px, paramètre de la parabole  : »

ci-dessus la parabole d'équation y = x²/10

 ➔   On dira de la parabole ci-dessus qu'elle présente sa convexité vers les ordonnées positives. La fonction x → x²/10 est convexe. A contrario, ci-dessous, la fonction x → -x²/10 est concave (» fonctions convexes).

∗∗∗
L'arc de courbe ci-dessous, présentant un extremum en (1,-2), est-il celui d'une parabole ? Non, car si cela était la symétrie par rapport à l'axe d'équation x = 1 devrait être plus manifeste... Par exemple, la courbe semble passer par (2,-7) mais ne passe clairement pas par (0,-7).
Il s'agit en fait d'une cubique d'équation y = x³ - 9x² + 15x - 9

          

∗∗∗  Approche concrète de la parabole 
 

♦Dans l'espace (paraboloïde) : par rotation autour de son axe, une parabole engendre un paraboloïde de révolution (l'appellation est de Huygens) dont les propriétés émettrices et réceptrices résultent de la propriété focale de la parabole. On démontre facilement qu'un rayon lumineux (zM), figure ci-dessous, parallèle à l'axe du paraboloïde, se réfléchit au foyer F. Il y a donc accumulation de lumière en F. Inversement, une ampoule lumineuse placée au foyer F va projeter des rayons lumineux parallèles.

Cette définition se retrouve dès le 4ème siècle dans Pappus d'Alexandrie et, selon la légende, fut exploitée par Archimède pour repousser les navires ennemis à Syracuse en tentant de les brûler en renvoyant les rayons solaires au moyen de miroirs paraboliques.

Antennes & miroirs paraboliques : »

Ces propriétés expliquent les nombreux usages du paraboloïde en optique (phares), fours solaires, télescopes, transmission hertzienne (télévision par satellite, radioastronomie), radars = RAdio Detection And Ranging), mis au point par les anglais lors de la seconde guerre mondiale, etc.

» Newton

Pour tout x positif, le nombre positif y tel que y² = x est la racine carrée de x (notée √x depuis Rudolff).

Les fonctions x → x² et y → √x sont donc réciproques l'une de l'autre. Il suit que, dans un repère orthonormé, la représentation de la fonction y = √x est une parabole symétrique de la parabole d'équation y = x² par rapport à la bissectrice principale du repère (aussi dite 1ère bissectrice) d'équation y = x.

 !  la symétrie axiale échangeant les deux courbes n'est effective qu'en repère orthonormé  !