Énoncé du paradoxe ~ Le paradoxe de Bertrand

Ce problème, qui s'inscrit dans le cadre des calculs de probabilités géométriques, fut exhibé par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1899. Il peut comporter quatre réponses justes selon la compréhension des mots « hasard » et « choix ».

Qui était Bertrand ?

Né en 1822, Joseph-Louis-François Bertrand fut reçu premier à l'École Polytechnique à l'âge de 17 ans. Il fut ingénieur des Mines, enseigna au lycée Saint-Louis, puis au Collège de France.
Admis à l'Académie des Sciences en 1856, il succéda à Sturm. Admis à l'Académie française en 1884, il publia de nombreux mémoires et traités.
Il se distingua dans le calcul différentiel et intégral dès 1864 et dans le calcul des probabilités à partir de 1889. Il était aussi passionné d'astronomie, de thermodynamique et d'électricité. Il mourut en 1900.

Nous lui devons la célèbre série de Bertrand de terme général qui est convergente si l'une des conditions nécessaires et suffisantes suivantes est réalisée :

α > 1 ;
α = 1 et β > 1.

Pour tout entier n supérieur à 2, il existe au moins un nombre premier compris entre n et 2n.

Cette conjecture fut prouvée par Tchebychev – ou Chebyshev, en translittération anglaise – en 1854.

Le paradoxe de Bertrand

Traçons au hasard une corde dans un cercle.
Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ?

Autrement dit, en considérant un triangle équilatéral et son cercle circonscrit, quelle est la probabilité que la longueur d'une corde tracée au hasard soit supérieure à celle du côté du triangle ?

Rien ne vaut cependant un bon dessin afin de mieux visualiser le problème !

Exemple de corde

Dans cet exemple, les cordes [AB] et [CD] ont été tracées dans le cercle (C) de centre O. La longueur du segment [AB] est inférieure à celle de la longueur du côté du triangle équilatéral (T) inscrit dans le cercle (C), tandis que celle du segment [CD] lui est supérieure.
Il en résulte donc que seule la corde [CD] répond aux critères du problème.

En effet, selon notre perception de la définition d'une corde, il est possible de distinguer quatre méthodes différentes, toutes les quatre conformes aux approches classiques et rigoureuses en matière de probabilités géométriques.

Commençons dès à présent à réfléchir sur la façon d'aborder ce problème que nous allons étudier en plusieurs étapes.