Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Author: Johann DOLIVET
Date: 8 Janvier 2013

Il s'agit ici d'observer les différences entre la loi binomiale et la loi normale.
On peut observer les similitudes entre la loi binomiale et la loi normale selon les valeurs de n et p.
Il est également possible de constater que les résultats, tant pour la détermination d'intervalles que pour le calcul de probabilités sont très proches (toujours selon les valeurs de n et p).

Loi \; normale\;centrée\;réduite

Z \sim N(0;1)

Cadrage

Y   \sim  N\left( np;\sqrt{np(1-p})  \right)

X \sim B(n;p)

Calcul de probabilité

Z=\frac{Y-np}{\sqrt{np(1-p)}}

Loi \;  binomiale

Loi \; normale

On \; cherche \; a  \; et \; b \; tel  \; que \; P(a≤X≤b)≥p_I

Détermination d'intervalle

On \; cherche\;à\;déterminer\;p(a≤X≤b)

f(x) = exp(((-x^(2))) / 2) / ((sqrt((2 * π)) * abs(1)))
n = 49 (slider from 1 to 200, step 1)
p = 0.19 (slider from 0 to 1, step 0.01)
a_1 = BinomialDist(n, p, false)
g(x) = exp(((-((x - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p))))^(2))) / 2) / ((sqrt((2 * π)) * abs(sqrt(((n * p) * (1 - p))))))
A_1 = Max(g, 0, n)
B_1 = (0, 0)
C = (1, 0)
b_1 = Ray(B_1, C)
a = 6 (slider from 0 to n, step 1)
b = 14 (slider from a to n, step 1)
c = BinomialDist(n, p, (b - a) / n, false)
d = Integral(g, a - 0.5, b + 0.5)
texte5: "P(a≤X≤b)=" + (LaTeX[d]) + ""
e = Histogram(Sequence[k - 0.5, k, a, b + 1], Sequence[((Binomial[n, k] * p^(k)) * (1 - p)^(n - k)), k, a, b])
h = true
texte7: "P(a≤X≤b)=" + (LaTeX[e]) + ""
i = Integral(f, (a - 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p))), (b + 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p))))
c_1 = 0
A: (a, 0)
texte14: "" + (LaTeX[a]) + ""
B: (b, 0)
texte15: "" + (LaTeX[b]) + ""
p_I = 0.51 (slider from 0 to 1, step 0.01)
liste1 = Sequence(BinomialDist[n, p, k, true], k, 0, n)
j = CountIf(x ≤ 0.5 - p_I / 2, liste1)
k = CountIf(x  <  0.5 + p_I / 2, liste1)
l = Histogram(Sequence[i - 0.5, i, j, k + 1], Sequence[((Binomial[n, i] * p^(i)) * (1 - p)^(n - i)), i, j, k])
texte18: "P(" + (LaTeX[j]) + "≤X≤" + (LaTeX[k]) + ")=" + (LaTeX[l]) + ""
m = InverseNormal((n * p), sqrt(((n * p) * (1 - p))), 0.5 + (0.5 * p_I))
o = InverseNormal((n * p), sqrt(((n * p) * (1 - p))), 0.5 - (0.5 * p_I))
q = Integral(g, o, m)
F: (o, 0)
texte20: "" + (LaTeX[o]) + ""
G: (m, 0)
texte21: "" + (LaTeX[m]) + ""
r = Segment(F, G)
s = InverseNormal(0, 1, 0.5 + p_I / 2)
t = Integral(f, (-s), s)
texte23: "P\left(" + (LaTeX[(-s)]) + "≤Z≤" + (LaTeX[s]) + "\right)= " + (LaTeX[p_I]) + ""
texte22: "P(" + (LaTeX[o]) + "≤X≤" + (LaTeX[m]) + ")=" + (LaTeX[p_I]) + ""
H: ((-s), 0)
I: (s, 0)
texte24: "" + (LaTeX[(-s)]) + ""
texte25: "" + (LaTeX[s]) + ""
u = false
d_1 = Segment(H, I)
texte4: "X \sim B(" + (LaTeX[n]) + ";" + (LaTeX[p]) + ")"
texte6: "P(a-0.5≤Y≤b+0.5)=" + (LaTeX[d]) + ""
texte13: "P\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}≤Z≤\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=" + (LaTeX[i]) + ""
D: ((a - 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p))), 0)
texte16: "" + (LaTeX[(a - 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p)))]) + ""
texte17: "" + (LaTeX[(b + 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p)))]) + ""
E: ((b + 0.5 - (n * p)) / sqrt(((n * p) * (1 - p))), 0)
texte3: "Y \sim N\left( " + (LaTeX[(n * p)]) + ";" + (LaTeX[sqrt(((n * p) * (1 - p)))]) + "  \right) "