Pourquoi je suis prof de math!

"Lorsqu’il fait grand jour, les mathématiciens vérifient leurs équations et leurs preuves, retournant chaque pierre dans leur quête de rigueur. Mais quand vient la nuit que baigne la pleine lune, ils rêvent, flottant parmi les étoiles et s’émerveillant au miracle des cieux. C’est là qu’ils sont inspirés. Il n’y a sans le rêve ni art, ni mathématiques, ni vie"

Michael Atiyah

• un objet mathématique: les fractales
  

• un raisonnement: la démonstration de l'irrationnalité de racine de 2 (lancer la vidéo puis choisir le point 22)

• une démonstration géométrique sans un calcul: Théorème de Pythagore

"Il y a quelques années, après une conférence, quelqu'un me dit: "Vous semblez toujours lier mathématiques et amusement...". Je fus inspiré de lui répondre: "Si ce n'était pas amusant, pourquoi en ferions-nous ?"

Ralph P. BOAS

• on ne joue pas avec le feu

• récréations mathématiques

• un site ludique
• on peut y passer ses ceintures, de la jaune à la noire (cliquer sur l'icône )

"La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques."

Blaise Pascal

• l'essentiel des maths enseignées jusqu'à la matu ont été créées/découvertes (faites votre choix!) entre -3000 et la fin du XVIIIe; depuis, la recherche et surtout les découvertes ne sont sont pas arrêtées! On estime à environ 350000 les nouveaux théorèmes publiés chaque année... (voir une liste des publications de nouveaux résultats)
• et en plus elles bougent! (geogebra)

"Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! triangle lumineux !
Celui qui ne vous a pas connu est un insensé! Il mériterait l'épreuve des plus grands supplices."

Lautréamont

• poser, mener et finir un long calcul, faisant appel à des techniques spécifiques, vérifier que la solution est correcte (par exemple une étude de fonction complète)

• comprendre un raisonnement complexe ou particulièrement habile (par exemple le principe de la descente infinie de Fermat pour montrer qu'il n'y a pas de solution entière à l'équation x³+y³=z³)

• mettre en relation deux notions apparemment distinctes (par exemple considérer un système d'équations linéaires 2x2 algébriquement ou comme intersection de droites)

• modéliser une situation pour pouvoir ensuite l'étudier et parfois prédire le futur! (poser un problème de physique en termes d'équation différentielle et déduire du comportement de l'équation des propriétés du phénomène étudié)

"La science, dans ses résultats, est plus magique que la magie: c'est une magie à preuves !"

Jean-Marie Adiaffi

• étonnant!
• un site de maths et magie (cliquer sur "magie" à gauche)

"Si je crois à l'inspiration ? Mais bien sûr ! Je crois même que tous les hommes sont inspirés. Ca s'appelle intuition."

Max Jacob

• une des plus grande erreurs qu'on pourrait faire en abordant les maths serait de les réduire à une exclusive rationalité; le mathématicien les aborde via sa personnalité propre et les représentations existantes qu'il en a. Ses intuitions – d'où qu'elles puissent venir... - sont donc elles aussi partie prenantes de sa démarche.

• Andew Wiles raconte comment lors des 7 années qu'il a mis à résoudre le célèbre théorème de Fermat, il a à un moment particulier rêvé d'un bout de solution...

"Les mathématiques sont la poésie des sciences."

Léopold Senghor

"Les mathématiques ne sont pas une moindre immensité que la mer."

Victor Hugo

• math et littérature
• math et musique; écoutez Pi dans la tonalité de votre choix!

"L'essence des mathématiques, c'est la liberté."

Georg Cantor

• elles nous parlent de concepts fondamentaux (égalité – équivalence – relation – réciprocité – discrimination - ...) et participent ainsi à la façon dont nous appréhendons ces concepts dans leur globalité

• contrairement à certaines idées reçues, l'imaginaire, les phénomènes psychologiques, relationnels et sociologiques y tiennent une part prépondérante; le rapport aux maths est rarement neutre, mais bien au contraire très affectif: on aime ou on déteste! Elles cristallisent peut-être certains de nos fondements individuels profonds; le conscientiser, l'analyser et le ressentir permettent de mieux nous connaître nous-mêmes à travers notre rapport aux maths

• un spécialiste de la question: Jacques Nimier et son site pedagopsy.eu

"Le grand livre de la nature était écrit dans la langue des droites, des cercles, la langue de la géométrie et des mathématiques. Les mathématiques sont le langage de l'Univers."

Galilée

• Le langage mathématique est aujourd'hui commun à toute l'humanité. Y a-t-il un autre tel vecteur commun? Son abstraction et sa relative « neutralité » le mettent-ils à l'abri des tensions inhérentes aux autres vecteurs de communication entre humains?
  "Tandis qu’il existe plus de quatre mille langues, dont plusieurs centaines sont largement répandues, et plusieurs dizaines d’alphabets et de systèmes d’écriture servant à les transcrire, il n’y a aujourd’hui qu’un seul et unique système de numération écrite. Système dont les signes de base constituent, pour ainsi dire, un espéranto pour les yeux : le fait que des gens, Européens, Asiatiques, Africains, Américains ou Océaniens, incapables de communiquer entre eux par la parole, se comprennent aisément dès lors qu’ils écrivent les nombres au moyen des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, . . . est l’un des traits les plus remarquables de notre système de numération actuel. En un mot, les chiffres constituent aujourd’hui le seul et véritable langage universel. Ceux qui considèrent les chiffres comme quelque chose de tout à fait inhumain feraient donc bien d’y réfléchir."
  in [Pour une culture mathématique accessible à tous. Elaboration d'outils pédagogiques pour développer des compétences citoyennes, BALLIEU Michel, http://www.profor.be/crem/]

• Au delà de querelles locales et d'enjeux de pouvoir qui bien sûr existent entre les personnes, on observe dans la communauté mathématique une volonté d'échanger librement les savoirs pour participer ensemble au meilleur développement de la connaissance (mathématique) mondiale

"La connaissance des solides de Platon appartient au même plan que l'Odysée d'Homère, les sonates de Beethoven ou les statues de l'île de Pâques au patrimoine culturel de l'humanité"

Michèle Audin

"Il y a trois sortes de mathématiciens, ceux qui savent compter et les autres"

Un mathématicien

• compter, estimer, poser des proportions

• lire un tableau ou un graphique, une statistique

• mesure, appréhender les objets géométriques

"Le foot, ce n'est pas des maths."

Luis Fernandez

L'essentiel des technologies qui fonctionnent (moyens de transport, de communication, de soins, ...) ne le peuvent que grâce aux outils mathématiques utilisés par les scientifiques (voir par exemple "L'explosion des mathématiques")

Donner au plus grand nombre des connaissances générales dans ces domaines permet l'indispensable régulation et contrôle démocratique sur ceux qui sont en charge de la mise en oeuvre technique et concrète de ces technologies.

" Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l'on parle ni si ce que l'on dit est vrai."

Bertrand Russell

• les nombres complexes et l'électricité

• les géométries non euclidiennes et la relativité

• les espaces de Hilbert et la mécanique quantique

• la logique et l'informatique

• la théorie des nombres et la cryptographie

• les mouvements browniens et la finance

L'existence d'une communauté mathématique forte, alimentée par de nouveaux membres qui ont tous d'abord été élèves, donc sensibilisés aux maths durant leurs études, est indispensable.

"Vous n'avez pas raison ou tort parce que d'autres sont d'accord avec vous.
Vous avez raison parce que vos faits sont exacts et votre raisonnement est juste."

Warren Buffet

Les maths sont certainement une excellente école pour apprendre à raisonner. Ceci passe par le développement de l'esprit scientifique (se représenter le problème, abstraire son essence d'une situation particulière, modéliser, étudier les liens, ordonner, classifier, résoudre, critiquer, valider, contrôler le résultat) et par la compréhension de la construction mathématique (axiome, définition, conjecture, hypothèse, conclusion, contre-exemple, démonstration, théorème).

Etre capable de convaincre avec des arguments plutôt qu'avec la force!

"Les mathématiques sont un jeu que l'on exerce selon des règles simples en manipulant des symboles ou des concepts qui n'ont en soi, aucune importance particulière."

David Hilbert

Jean-Pierre Kahane

" L'idéologie guette la science en chaque point où défaille sa rigueur,
mais aussi au point extrême où une recherche actuelle atteint ses limites."

Louis Althusser

"Si vous touchez aux maths, vous ne devez être ni pressés, ni cupides, fussiez-vous roi ou reine."

Euclide

"Les mathématiques sont une gymnastique de l'esprit et une préparation à la philosophie."

Isocrate

"Sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie.
Sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques.
Sans les deux, on ne pénètre au fond de rien."
Gottfried Wilhlem Leibnitz

• les maths existent-elles (elles ne sont alors que « découvertes » par les hommes) ou sont-elles construites par les hommes?
• qu'est-ce que l'infini, une construction de l'esprit, un infini potentiel comme le pensait Aristote ou un objet manipulable, un infini en acte?
• comment comprendre les théories de Cantor sur les différents niveaux d'infini?
• que faire d'une conjecture indécidable?

"Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t'assurer que les miennes sont bien plus importantes !" "L'imagination est bien plus importante que la connaissance."

Albert Einstein

• Freud aurait dit qu'il y a 4 métier « impossibles »: psychanalyste, médecin, prostituée et enseignant. Tous travaillent avec le matériau humain! C'est à la fois compliqué et immensément gratifiant, et ce n'est jamais deux fois la même chose!

• Transmettre des savoirs mais encore plus des attitudes, participer à «l' élévation» de l'élève, quoi de plus beau?

• Parce qu'on est (encore...) très libre dans la façon qu'on a de mettre en oeuvre notre métier, et que c'est une chance autant pour l'enseignant que pour l'élève d'être confronté à des visions, des personnalités, des attitudes différentes; charge à lui ensuite d'y puiser ce qui lui servira à se construire lui-même

"Dans la perspective d'une société pacifiée et soucieuse de progrès, au point de vouloir que rien ne se perde, chacun s'adresserait à chacun en ces termes: "Nous avons tous besoin de ton génie, tu as quelque chose à montrer, tu as une intelligence du monde, une sensibilité de la vie, que tu es seul(e) à posséder. Il te faut parvenir à la communiquer. Nous ne tolérerons aucune démission, car nous voulons que rien ne soit perdu de ce qui est et mérite d'être..."

Antoine de la Garanderie

Je parle en « je » afin de bien indiquer que je questionne ici ma pratique personnelle et ne porte aucun jugement sur celle des autres.

Montrer les différentes facettes des mathématiques

Ne pas réduire l'enseignement des maths à l'apprentissage de techniques de calcul ("on verra plus tard - sous entendu au poly ! - à quoi ça sert, mais inclure dès que possible différentes facettes: histoire et culture des maths, technologies, jeux, résolution de problèmes, ... et bien sûr acquisition des connaissances et savoirs-faire de base.

Mettre plus souvent l'élève au travail "actif"

Le risque à vouloir développer de nombreuses pistes, montrer les différentes facettes des maths est de s'éparpiller et d'avoir sans cesse la parole; se réduisent alors les temps de travail en classe pour les élèves - seuls, à deux, en groupes - durant lesquels ils font des maths...

Trouver le bon équilibre entre travail sur le sens, les représentations et l'entrainement nécessaire à la nécessaire maîtrise des savoirs

Il s'agit pour le « couple » enseignant-élève de transmettre (des définitions, des savoirs-faire, des idées, des raisonnements, ...) et d'aider à construire du sens; pour ceci, il faut s'intéresser aux représentations des uns et des autres, les confronter, les faire évoluer, parfois déconstruire pour mieux reconstruire. Parallèlement, rien ne peut se faire sans une maîtrise de certains outils de base. La construction mathématique est très pyramidale et on est très pénalisé si les fondamentaux (dont la somme ne fait que grandir avec les années!) ne sont pas acquis. Comment trouver le bon équilibre entre ces deux pôles, trop souvent diabolisés chacun à leur tour lors des réformes successives de l'enseignement des maths?

Donner sa juste place à l'erreur

dans un contexte où les apprentissages me paraissent plus circulaires que linéaires et où les aspects psychologiques sont si importants, le statut à donner à l'erreur est fondamental. Dans un processus d'apprentissage et d'évaluation performant (non certificatif), il me paraît essentiel de ne pas la considérer comme un échec mais comme une chance de pouvoir s'arrêter pour l'analyser, comprendre ce qu'elle a à dire quand à sa (non)-compréhension, à sa pratique, actuelle pour repartir ensuite sur de nouvelles bases

Varier les processus d'évaluation

cette réflexion sur le statut de l'erreur devrait logiquement me conduire à varier plus les processus d 'évaluation. D'un état actuel où règnent en maîtres absolus les enseignements/apprentissages linéaires, la note comme indicateur quasi exclusif et la moyenne comme graal certificatif, peut-être pourrais-je injecter quelques doses d'évaluation formative, associer à une note (qui reste un indicateur intéressant et facile à interpréter) quelques commentaires associés à l'atteinte ou non d'objectifs préalablement clairement identifiés?

Développer les liens entre disciplines

l'organisation actuelle des enseignements cloisonne soigneusement les disciplines les unes par rapport aux autres; pourtant, on l'a vu, des liens avec les autres sciences et la philosophie de façon évidente, mais aussi avec les arts visuels, la musique, les langues, ... sont également possibles; ne serait-il pas possible (souhaitable?) de travailler parfois ensemble autour de projets?

Utiliser les nouvelles technologies

Développer l'autonomie des élèves en lui proposant des parcours d'apprentissage ou d'évaluation (exploration, entraînement, révision, évaluation, remédiation, ...); amener du son, des images, des animations, de la couleur, voici quelques uns des apports possibles des nouvelles technologies dans les enseignements/apprentissages des maths; pourquoi ne pas plus les utiliser?